Progresii Aritmetice și Geometrice

Progresia Aritmetică

Definiție: Șir în care diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă (rația r).

Formule

Termenul general: aₙ = a₁ + (n-1)·r

Suma primilor n termeni: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n·a₁ + n(n-1)r/2

Rația: r = aₙ₊₁ - aₙ = (aₙ - a₁)/(n-1)

Proprietăți

• •aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 (media aritmetică)
• •Suma primilor n numere naturale: n(n+1)/2

Exemple

Ex 1: Găsește al 10-lea termen pentru a₁=3, r=2

• •a₁₀ = 3 + 9·2 = 21

Ex 2: Calculează suma primilor 100 de numere naturale

• •S₁₀₀ = 100·101/2 = 5050

Progresia Geometrică

Definiție: Șir în care raportul dintre doi termeni consecutivi este constant (rația q).

Formule

Termenul general: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Suma primilor n termeni (q ≠ 1): Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1)

Rația: q = bₙ₊₁/bₙ

Proprietăți

• •bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ (media geometrică)
• •|q| < 1 ⟹ lim Sₙ = b₁/(1-q)

Exemple

Ex 1: Găsește al 5-lea termen pentru b₁=2, q=3

• •b₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162

Ex 2: Suma primilor 6 termeni cu b₁=1, q=2

• •S₆ = 1·(2⁶-1)/(2-1) = 63

Comparație

Exerciții

1. •Găsește a₁₅ pentru progresia 2, 5, 8, 11, ...
2. •Calculează suma primilor 10 termeni: 1, 2, 4, 8, ...
3. •Determină r dacă a₁=7 și a₇=31

---

Găsește un profesor de matematică pentru meditații personalizate!