Logaritmi - Proprietăți și Exerciții

Definiție

log_a(x) = y înseamnă a^y = x

Unde: a > 0, a ≠ 1, x > 0

Exemple

• •log₂(8) = 3 pentru că 2³ = 8
• •log₁₀(100) = 2 pentru că 10² = 100
• •ln(e) = 1 pentru că e¹ = e

Logaritmi Speciali

• •lg(x) = log₁₀(x) - logaritm zecimal
• •ln(x) = log_e(x) - logaritm natural
• •lb(x) = log₂(x) - logaritm binar

Proprietăți Fundamentale

1. Logaritmul produsului

log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y)

2. Logaritmul câtului

log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)

3. Logaritmul puterii

log_a(x^n) = n · log_a(x)

4. Schimbarea bazei

log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)

5. Proprietăți speciale

• •log_a(1) = 0
• •log_a(a) = 1
• •a^(log_a(x)) = x
• •log_a(a^x) = x

Exerciții Rezolvate

Ex 1: Calculează log₂(32)

• •32 = 2⁵
• •log₂(32) = 5

Ex 2: Simplifică log₃(27) + log₃(9)

• •log₃(27) = 3 (pentru că 3³ = 27)
• •log₃(9) = 2 (pentru că 3² = 9)
• •Rezultat: 3 + 2 = 5

Ex 3: Calculează log₂(8) - log₂(2)

• •= log₂(8/2) = log₂(4) = 2

Ex 4: Rezolvă log₃(x) = 4

• •x = 3⁴ = 81

Ecuații Logaritmice

Tipul 1: log_a(f(x)) = b → f(x) = a^b

Tipul 2: log_a(f(x)) = log_a(g(x)) → f(x) = g(x)

Exemplu

log₂(x + 3) = 3

• •x + 3 = 2³ = 8
• •x = 5

Verificare: log₂(8) = 3 ✓

Exerciții Propuse

1. •Calculează: log₅(125) + log₅(25)
2. •Simplifică: 2·log₃(9) - log₃(27)
3. •Rezolvă: log₂(x-1) + log₂(x+1) = 3

---

Pregătește-te pentru BAC cu un profesor de matematică experimentat!