Derivate - Formule și Reguli

Ce este Derivata?

Derivata măsoară viteza de variație a unei funcții.

Interpretare geometrică: Panta tangentei la graficul funcției într-un punct.

Formule de Bază

Reguli de Derivare

1. Derivata sumei

(f + g)' = f' + g'

2. Derivata produsului

(f · g)' = f' · g + f · g'

3. Derivata câtului

(f/g)' = (f' · g - f · g') / g²

4. Derivata funcției compuse

(f ∘ g)' = f'(g) · g'

Exemple Rezolvate

Ex 1: f(x) = 3x² + 5x - 2

• •f'(x) = 6x + 5

Ex 2: f(x) = x³ · e^x

• •f'(x) = 3x² · e^x + x³ · e^x = e^x(3x² + x³)

Ex 3: f(x) = sin(2x)

• •f'(x) = cos(2x) · 2 = 2cos(2x)

Ex 4: f(x) = ln(x² + 1)

• •f'(x) = 1/(x²+1) · 2x = 2x/(x²+1)

Ex 5: f(x) = (x+1)/(x-1)

• •f'(x) = (1·(x-1) - (x+1)·1)/(x-1)²
• •f'(x) = -2/(x-1)²

Derivate de Ordin Superior

• •f''(x) = (f'(x))' - derivata a doua
• •f'''(x) = (f''(x))' - derivata a treia

Exemplu: f(x) = x⁴

• •f'(x) = 4x³
• •f''(x) = 12x²
• •f'''(x) = 24x

Aplicații

1. •Tangenta la grafic: y - f(a) = f'(a)(x - a)
2. •Monotonie: f crescătoare dacă f'(x) > 0
3. •Extreme: puncte unde f'(x) = 0

Exerciții

1. •Derivează: f(x) = x⁴ - 3x² + 2x - 7
2. •Derivează: f(x) = e^(2x) · cos(x)
3. •Găsește tangenta la f(x) = x² în punctul x = 2

---

Găsește un profesor de matematică pentru pregătire BAC!